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2023四川省成都市第七中学高三一诊模拟考试数学(文)试题(word版)
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设
是虚数单位，则复数
（ ）
A.
B.
C.
D.
2.设集合
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
3.函数
的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两个等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直视图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助线）.当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为（ ）
B.
C.
D.
5.执行下边的算法程序，若输出的结果为120，则横线处应填入（ ）
A.
B.
C.
D.
6.设实数
满足
，则
的最大值是（ ）
A.-1 B.
C.1 D.
7.“
”是“
”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知向量
，
，则
在
方向上的投影为（ ）
A.2 B.-2 C.
D.
9.设抛物线
的焦点为
，准线为
，点
在
上，点
在上，且
，若
，则
的值为（ ）
A.
B.2 C.
D.3
10.设
分别是
的内角
的对边，已知
，则
的大小为（ ）
A.
B.
C.
D.
11.已知正三棱锥的高为6，内切球（与四个面都相切）表面积为
，则其底面边长为（ ）
A.18 B.12 C.
D.
12.已知函数
（其中
）的最小正周期为
，函数
，若对
，都有
，则
的最小正值为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.某学校初中部共120名教师，高中部共180名教师，其性别比例如图所示，已知按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女教师有6人，则工会代表中男教师的总人数为________.
14.已知圆
与
轴相切，圆心在
轴的正半轴上，并且截直线
所得的弦长为2，则圆的标准方程是________.
15.已知
均为锐角，且
，则
的最小值是________.
16.若函数
有三个不同的零点，则实数
的取值范围是________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.
17.正项等比数列
中，已知
，
.
求
的通项公式；
设
为
的前
项和，
，求
.
18.“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南
镇2009～2018年梅雨季节的降雨量（单位：
）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：
“梅实初黄暮雨深”.请用样本平均数估计
镇明年梅雨季节的降雨量；
“江南梅雨无限愁”.
镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，他过去种植的甲品种杨梅，亩产量受降雨量的影响较大（把握超过八成）.而乙品种杨梅2009～2018年的亩产量（
/亩）与降雨量的发生频数（年）如
列联表所示（部分数据缺失）.请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小？
（完善列联表，并说明理由）.
（参考公式：
，其中
）
19.已知椭圆
的离心率为
，且经过点
.
求椭圆的标准方程；
过点
的动直线
交椭圆于另一点
，设
，过椭圆中心
作直线
的垂线交于点
，求证：
为定值.
20.如图，在多面体
中，
和
交于一点，除
以外的其余各棱长均为2.
作平面
与平面
的交线
，并写出作法及理由；
求证：
；
若平面
平面，求多面体的体积.
21.已知函数
，其中
为常数.
若曲线
在
处的切线斜率为-2，求该切线的方程；
求函数
在
上的最小值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标
系中，曲线
的参数标方程为
（其中
为参数，且
），在以
为极点、
轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线
的极坐标方程为
.
求曲线的极坐标方程；
求直线与曲线的公共点
的极坐标.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数
，且
.
若
，求
的最小值；
若
，求证：
.
第七中学2019届高三一诊模拟考试
数学（文）试题参考答案
一、选择题
1-5:
6-10:
11、12：
二、填空题
13.12 14.
15.
16.
三、解答题
17.解：
设正项等比数列
的公比为
，则
由
及
得
，化简得
，解得
或
（舍去）.
所以
的通项公式为
.
由
得，
.
所以
.
18.解：频率分布直方图中第四组的频率为
.
所以用样本平均数估计
镇明年梅雨季节的降雨量为
.
根据频率分布直方图可知，降雨量在200～400之间的频数为
.
进而完善列联表如图.
亩产量\降雨量 | 200～400之间 | 200～400之外 | 合计 |
<600 | 2 | 2 | 4 |
| 5 | 1 | 6 |
合计 | 7 | 3 | 10 |
.
故认为乙品种杨梅的亩产量与降雨量有关的把握不足75%.
而甲品种杨梅降雨量影响的把握超过八成，故老李来年应该种植乙品种杨梅.
19.解：因为椭圆的离心率
，且
，所以
.
又
.故椭圆的标准方程为
.
设直线
的方程为
（
一定存在，且
）.
代入
，并整理得
.
解得
，于是
.
又
，所以
的斜率为
.
因为
，所以直线的方程为
.
与方程联立，解得
.
故
为定值.
20.解：过点
作
（或
）的平行线，即为所求直线
.
和
交于一点，
四点共面.又
四边形
边长均相等.
四边形
为菱形，从而
.
又
平面
，且
平面
，
平面.
平面
，且平面
平面
，
.
证明：取
的中点
，连结
，
.
，
，
，
.
又
，
平面
，
平面，故
.
又
四边形
为菱形，
.又
，
平面
.
又
平面，
.
解：
平面
平面
，
平面
.
故多面体
的体积
.
21.解：求导得
，由
解得
.
此时
，所以该切线的方程为
，即
为所求.
对
，
，所以
在
区间内单调递减.
（1）当
时，
，
在区间
上单调递减，故
.
（2）当
时，
，在区间
上单调递增，故
.
（3）当
时，因为
，
，且
在区间
上单调递增，结合零点存在定理可知，存在唯一
，使得
，且
在
上单调递增，在
上单调递减.故
的最小值等于
和
中较小的一个值.
①当
时，
，故的最小值为.
②当
时，
，故
的最小值为.
综上所述，函数
的最小值
.
22.解：消去参数
，得曲线
的直角坐标方程
.
将
，
代入
，得
.
所以曲线的极坐标方程为
.
将
与的极坐标方程联立，消去
得
.
展开得
.
因为
，所以
.
于是方程的解为
，即
.
代入
可得
，所以点
的极坐标为
.
23.解：由柯西不等式得，
（当且仅当
时取等号），所以
，即
的最小值为
；
因为
，所以
，故结论成立.
1
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